El Significado del Teorema de Pitágoras

Todos conocemos el famoso teorema de Pitágoras que dice que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Hay muchísimas aplicaciones y teorías que se sustentan en este teorema, y por eso todos los niños lo aprenden en la escuela.

Ahora bien, ¿es realmente cierto este teorema? ¿Qué implicaciones tendría que no lo fuera? Hoy me gustaría compartir contigo algunas reflexiones sobre este tema que tienen importantes consecuencias.

Es un tema complejo que merecería un libro entero, pero he intentado condensarlo en un artículo no demasiado largo y que resulte comprensible para todos. Espero haberlo conseguido, porque el Teorema de Pitágoras tiene un mensaje oculto muy bonito. Y ya es hora de que salga a la luz.

Pitágoras Dudaba de Su Propia Teorema

Parece ser que el mismo Pitágoras y sus seguidores vieron enseguida que algo no funcionaba en el teorema que acababan de descubrir.

Cuando haces el triángulo rectángulo más sencillo posible, el que tiene dos lados iguales de longitud 1, según el Teorema de Pitágoras la hipotenusa da raíz cuadrada de 2.

El problema es que √2 es un número de los llamados «irracionales», es decir, que tiene infinitos decimales:

√2 = 1,4142135623730950488016887242096980785…

Esto quiere decir que √2 no existe en nuestra realidad, no se puede dibujar una línea de longitud √2. En cierto modo, se puede decir que el punto donde debería terminar una línea de longitud √2 está vivo, porque si lo intentamos atrapar, siempre se escapará. Siempre habrá un decimal más, y esto hará que la línea sea un poco más corta o más larga de cómo la habíamos dibujado.

Los Pitagóricos pensaron enseguida que esto no tenía ningún sentido. Algo falla, pero de entrada nadie veía qué podía ser.

El Teorema de Pitágoras Demuestra que la Realidad No Es lo que Parece

Para entender qué falla en el Teorema de Pitágoras, hay que analizar su demostración. Y uno de los aspectos más importantes de esta demostración es que se basa en la geometría euclidiana.

La geometría euclidiana es la que nos enseñaron a todos en la escuela. Es la geometría donde las rectas son rectas y los cuadrados son cuadrados, y es la que utilizamos de forma intuitiva cuando analizamos la realidad que nos rodea.

Sin entrar en los detalles de la demostración, el caso es que, en una geometría euclidiana, el Teorema de Pitágoras es cierto. Ahora bien, ya hemos visto que el Teorema de Pitágoras no se cumple en la realidad, porque da casos que no tienen ningún sentido. Y esto tiene una conclusión muy simple: la realidad no es euclidiana.

Como seguramente sabrás, hay una herramienta matemática muy poderosa que se llama «demostración por reducción al absurdo«. Consiste en hacer una determinada afirmación, y deducir las consecuencias que tiene. Si las consecuencias son imposibles o absurdas, se deduce que la afirmación inicial era falsa.

Pues el Teorema de Pitágoras es una demostración por reducción al absurdo de que la realidad no es euclidiana. Si la realidad fuera euclidiana, querría decir que la hipotenusa de un triángulo rectángulo de lado 1 es un número que no existe en el mundo real. Y esto no tiene sentido.

Si la Realidad No Es Euclidiana, ¿Qué Es?

La geometría euclidiana se sustenta en cinco postulados; cinco suposiciones que, por considerarse evidentes, se aceptaron durante mucho tiempo sin haberlas demostrado de forma rigurosa. Ahora bien, el Teorema de Pitágoras indica que la realidad no es euclidiana, de modo que alguna de estas suposiciones debe ser errónea.

Ya hace tiempo que muchos matemáticos dudan de estos postulados, especialmente del quinto. Y precisamente de suponer que el último postulado es falso, se descubrieron otras geometrías alternativas, como la geometría hiperbólica.

La geometría hiperbólica parece un poco extraña a simple vista, pero podría ser perfectamente la que sigue nuestro universo. Como mínimo, no queda invalidada por el Teorema de Pitágoras porque, en esta geometría, las rectas, tal y como nosotros nos las imaginamos, desaparecen y pasan a ser curvas. El Teorema de Pitágoras deja de ser correcto, y la hipotenusa de un triángulo rectángulo de lados 1 deja de ser un número irracional. Así que puede que la hiperbólica sea una geometría válida.

El Teorema de Pitágoras nos Dice que la Vida Es Eterna

Sea la realidad hiperbólica o no, yo creo que, efectivamente, las rectas no existen. Creo que todas las líneas del universo son siempre curvas.

Además, creo que el grado de curvatura que tienen depende del tamaño del universo: cuanto más se expande el universo, más rectas parecen las líneas. Por esta razón, nosotros no percibimos esta curvatura. Es similar a la sensación que tenemos respecto a la Tierra: nos parece plana porque es muy grande en comparación con nosotros. Y si se hiciera más grande, aunque nos lo parecería más.

Pues el universo se está haciendo más grande constantemente, y eso disimula cada vez más su curvatura. El universo está en continua expansión, y a medida que crece, las líneas se van volviendo más rectas. Esto hace que la geometría de la realidad parezca cada vez más euclidiana. Es decir, el universo, en su expansión, tiende a ser euclidiano.

Si esta teoría es cierta, significa que la geometría euclidiana representa el universo en su máxima expansión: es la geometría perfecta de un universo acabado. Por esta razón nos resulta tan intuitiva y natural, pero también por esta razón nunca será una geometría que exista en el mundo real. Porque el universo nunca llegará a su máxima expansión, siempre podrá expandirse un poco más.

Hay que decir que es una suerte que sea así, porque de lo contrario, significaría que la vida podría llegar al final en algún momento. Si el universo pudiera llegar a su máximo esplendor, tendría fecha de caducidad.

El número √2 nos está diciendo precisamente que eso no pasará nunca. Si tuviera un número finito de decimales, el resultado del Teorema de Pitágoras no sería absurdo, la geometría euclidiana podría existir, y por tanto, el universo podría llegar en algún momento a su límite. Pero con su secuencia interminable de decimales, el número √2 nos está diciendo que podemos estar tranquilos, porque la vida continuará para siempre.